Le considerazioni che seguono riprendono l’articolo del prof. Mario Giandotti pubblicato sulla rivista L’Acqua nell’agricoltura, nell’igiene e nell’industria, agosto 1940, titolato Previsione empirica delle piene in base alle precipitazioni meteoriche, alle caratteristiche fisiche e morfologiche dei bacini. Applicazione del metodo ad alcuni bacini dell’Appennino Ligure. Con considerazioni di natura cinematica il Giandotti espone la seguente formula
QMAX = (277·gamma·psi·p·S)/(lambda·TC)
dove
QMAX = portata massima alla sezione di chiusura del bacino idrografico in m3/s,
gamma = rapporto fra la portata massima della piena e la portata media,
psi = coefficiente di riduzione dell’afflusso meteorico (coefficiente di deflusso),
p = valore di precipitazione in m,
S = superficie del bacino in km2,
lambda = rapporto fra ascissa onda di piena e tempo di corrivazione al picco,
TC = tempo di corrivazione in ore.
I valori gamma e lambda vengono a costituire i “parametri di forma” dell’idrogramma di piena. Vediamo ora come è possibile “massimizzare” il valore di portata QMAX eliminando la combinazione di gamma e lambda. Il parametro lambda definisce il punto dell’idrogramma di piena correlato al valore temporale del tempo al colmo TC (ovvero TC·lambda); viceversa gamma lega il valore di portata al colmo al valore di portata media.
La teoria geomorfologica, per i bacini cosiddetti hortoniani, presenta una relazione che esprime il prodotto qP·tP fra portata al picco dell’idrogramma unitario istantaneo qP e il tempo in corrispondenza del colmo tP. Si tratta della relazione
qP·tP = 0,58·(RB/RA)0,55·Rl0,05 , ___________________________________ [1]
dove
RB indica il rapporto di biforcazione (variabile fra 3 e 5),
Rl il rapporto delle lunghezze (variabile fra 1,5 e 3,5) ed
RA il rapporto delle aree (variabile fra 3 e 6).
La relazione precedente può essere trovata, ad esempio, nel volume Fractal River Networks: Change and Self-Organization di Rodriguez-Iturbe I. e Rinaldo A., Cambridge University Press., New York, 1997.
Ricordiamo che si possono considerare hortoniani la stragrande maggioranza dei bacini naturali. E’ stata eseguita una serie di elaborazioni per acquisire tutti i valori possibili che può fornire il secondo membro della relazione [1] sostituendo ai 3 valori hortoniani, a rotazione, tutti i possibili valori interni ai rispettivi campi di variabilità. Sono uscite 13.671 combinazioni, create considerando variazione di 0,1 per ogni singolo valore. I valori trovati del prodotto QP·tP variano fra il minimo 0,404 e il massimo 0,818. La media della serie assume il valore 0,5683, il valore della varianza è 0,006747, la deviazione standard vale 0,082142 mentre l’insieme dei numeri forma un campione asimmetrico a destra con coefficiente di asimmetria 0,381397.
Le analisi numeriche accennate hanno permesso di determinare che, per i bacini a tipologia hortoniana, il prodotto QP·tP può variare fra 0,40 e 0,82. E’ intuitivo che il valore 0,82 può massimizzare il valore di QMAX della formula di Giandotti.
Giandotti pone QMAX=gamma·QMED essendo gamma un coefficiente e QMED il valore della portata media dell’idrogramma di piena efficace. Poiché l’idrogramma di piena non è altro che una combinazione (lineare) dell’idrogramma istantaneo unitario elementare (corretto dalla frazione efficace della precipitazione nell’unità temporale di riferimento), possiamo riferirci ad un idrogramma unitario istantaneo in cui qMED=1/(lambda·tP) per il fatto, ovviamente, che è unitario il volume dell’idrogramma. Allo stesso modo, se QMAX=gamma·QMED potremo scrivere qMAX=gamma·qMED ed essendo qMED=1/(lambda·tP) avremo per semplice sostituzione che qP·tP = gamma/lambda. Ma tale prodotto, per i bacini hortoniani, può avere solo il margine di variabilità sopra descritto, cioè gamma/lambda può variare fra 0,404 e 0,818.
Con l’obiettivo di “massimizzare” la QMAX cercata la relazione (277·gamma·psi·p·S)/(lambda·Tc) diventa (277·0,82·lambda·psi·p·S)/(lambda·Tc) ovvero
QMAX = (227,14·psi·p·S)/TC . ______________________________________ [2]
Sono cioè spariti i parametri di forma dell’idrogramma avendone massimizzato, in via preventiva, le influenze. Ricordiamo come lo stesso Giandotti, per la determinazione del tempo di corrivazione di un bacino, propone la seguente relazione:
TC=(4· (S)0,5+1,5·L)/(0,8· (H)0,5)
essendo
TC = tempo di corrivazione in ore,
S = superficie del bacino in km2,
L = lunghezza asta principale in km,
H = differenza fra quota media del bacino e quota alla sezione di chiusura in m.
Segue una piccola applicazione di quanto esposto per determinare la portata massima del fiume Piave a Presenaio (BL).
La curva segnalatrice di possibilità pluviometrica di tipo monomio permette di determinare la precipitazione p dalla relazione p = a·TC n essendo a = 38 mm ed n = 0,49. La superficie S vale 142 km2. Sia inoltre L=15,2 km; H=1600 – 966 m. Ipotizzando per psi il valore 0,8 si ottiene:
TC =(4·1420,5+1,5·15,2)/(0,8·(1600-966)0,5) = 70,46 / 20,14 = 3,5 ore ,
QMAX =277·0,82·0,8·(38·3,50,49)·10-3·142 / 3,5 = 1.811,5 / 3,5 = 517,6 m3/s .
